Topologia

Topología

Recuperado de: 

http://es.slideshare.net/gsanabria73/orgenes-e-historia-de-la-topologa-14442942

Teoría De Conjuntos

       Teoría de conjuntos from Brmlazo

Fundamentos De La Geometría

Fundamentos De La Geometría

La geometría, como la aritmética, requiere para su desarrollo solo un pequeño número de principios fundamentales simples. Estos principios fundamentales son llamados axiomas. La elección de estos axiomas y la investigación de sus relaciones es un problema que, desde los tiempos de Euclides, ha sido discutido en numerosas memorias que se encuentran en la literatura matemática. Este problema es equivalente al análisis lógico de nuestra intuición del espacio.

Consideraremos tres sistemas distintos de objetos. Los objetos que componen el primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo sistema serán llamados rectas y aquellos del tercer sistema serán llamados planos.

• Existen puntos que los designaremos con las letras A, B, C, …
• Existen rectas que las designaremos con las letras a, b, c, …
• Existen planos que los designaremos con letras griegas α, β, γ, …

Los puntos son los elementos de la geometría lineal, las rectas son los elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son los elementos de la geometría del espacio.

Estos puntos, rectas y planos tiene relaciones entre ellos, que indicaremos con palabras como “están situados”, “entre”, “paralelas”, “congruentes”, etc.  Una completa descripción de ellos y de sus relaciones serán consecuencias de los axiomas de la geometría. Estos axiomas pueden ser presentados en 5 grupos, cada grupo expresa por sí mismo relaciones fundamentales, hechos de nuestra intuición.

I – Axiomas de conexión 

Axioma I – 1

Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Escribiremos  a=AB o a=BA.

También usaremos otras formas de expresión, podemos decir que A “yace sobre” a, A es un punto de a, a pasa por A y por B. Si A yace al mismo tiempo sobre otra recta b, diremos que a y b tienen un punto en común, A.

Axioma I – 2

Dos puntos distintos determinan completamente una recta, esto significa que si a=AB y a=AC, donde B≠C, entonces a=BC.

Axioma I – 3

Tres puntos distintos que no están en la misma recta, determinan completamente un plano, escribiremos ABC=α.

Emplearemos también las expresiones, A, B y C están en α, o A, B y C son puntos de α.

Axioma I- 4

Dados tres puntos distintos A, B y C de un plano α, que no se encuentran sobre la misma recta, determinan completamente ese plano.

Axioma I – 5

Si dos puntos A y B de una recta a, están en el plano α, entonces todos los puntos de a están en el plano α.

En ese caso diremos que la recta a, está en el plano α.

Axioma I – 6

Si dos planos α y β tienen un punto en común, entonces tienen un segundo punto en común.

Axioma I- 7

En toda recta existen al menos dos puntos, en todo plano existen al menos tres puntos que no están en la misma recta, en el espacio existen al menos cuatro puntos no todos en el mismo plano.

Los axiomas 1 y 2 están relacionados con la geometría plana, serán llamados axiomas del plano.

Los axiomas 3 a 7 serán llamados axiomas del espacio.

Teorema 1

Dos rectas en el plano tienen un punto en común o no tiene puntos en común; dos planos no tienen puntos en común o tienen en una recta en común; una plano y una recta que no está en el plano o no tienen puntos en común o tienen un punto en común.

Teorema 2

Dada una recta y punto que no está en ella, o dadas dos rectas que tienen en un punto en común, un único plano puede pasar por ellos.

II – Axiomas de orden 

Axioma II – 1

Si A, B y C son puntos de una recta y B está entre A y C, entonces B también está entre C y A.

Axioma II – 2

Si A y C son puntos de una recta, entonces existe al menos un punto B entre A y C y al menos un punto D situado tal que C esté entre A y D.

Axioma II – 3

Dados tres puntos cualesquiera de una recta, existe uno y sólo uno de ellos que está situado entre los otros dos.

Axioma II – 4

Dados cuatro puntos cualesquiera A, B, C, D de una recta  siempre pueden ser ordenados tal que B este entre A y C y también entre A y D; y además, que C esté entre A y D y también entre B y D.

Definición:

Dados dos puntos A y B sobre una recta, llamaremos segmento a los puntos que están entre A y B, lo denotaremos AB o BA. Los puntos que están entre A y B se dicen que son puntos del segmento AB o que pertenecen al segmento. Todos los otros puntos de la recta se dicen que están fuera del segmento. Los puntos A y B son llamados extremos del segmento.

Axioma II – 5

Sean A, B y C tres puntos que no están sobre la misma recta y sea a una recta que está en el plano ABC y no pasa por los puntos A, B y C. Entonces, si una recta pasa atraves del segmento AB, entonces pasará por un punto del segmento AC o un punto del segmento BC.

Los axiomas 1 a 4 están relacionados con puntos sobre una recta y son llamados axiomas lineales del grupo II, el axioma 5 es llamado axioma plano del grupo II.

III – Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides)

Axioma III

En un plano α, dados una recta a y un punto A, que no pertenece a la recta. Existe una y solo una recta que pasa por el punto A y no intersecta a la recta a. Esta recta es llamada paralela a la recta a que pasa por A.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Este axioma de las paralelas contiene dos afirmaciones. La primera es que en el plano α, hay siempre una recta que pasa por A y no intersecta a la recta a. La segunda es que sólo hay una.

Teorema 8:

Si dos rectas a y b, de un plano no tiene intersección con una tercera recta c del mismo plano, entonces entre ellas tampoco hay intersección.

El axioma de las paralelas es un axioma plano.

IV – Axiomas de congruencia 

Axioma IV – 1

Si A y B son dos puntos en una línea recta a, y si A’ es un punto de la misma o de otra recta a’, entonces a un lado de A’ sobre la recta a’, podemos encontrar siempre un único punto B’  tal que el segmento AB es congruente con A’ B’.

Indicaremos esta relación escribiendo:

AB ≡ A’ B’

Todo segmento es congruente con si mismo, eso significa que AB ≡ AB.

Axioma IV – 2

Si un segmento AB es congruente a un segmento A’ B’ y también a un segmento A”B”, entonces el segmento A’B’ es congruente con el segmento A” B”.

Si AB ≡ A’ B’ y AB ≡ A” B”, entonces A’B’ ≡ A” B”

Axioma IV – 3

Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común salvo B, y sean además, A’ B’ y B’ C’ dos segmentos en la misma recta o en otra a’, que no tiene puntos en común salvo B’.

Entonces si AB ≡ A’ B’ y BC ≡ B’ C’ tenemos que AC ≡ A’ C’.

V – Axioma de continuidad (Axioma de Arquímedes)

Recuperado de: http://www.roberprof.com/tag/fundamentos-de-la-geometria/

Geometría Proyectiva

       Geometría proyectiva from Brmlazo

Geometría No Euclidiana

       Geometría no euclidianas from Brmlazo

Geometría Diferencial

        Geometría Diferencial from Brmlazo

Estadística Y Probabilidad

Estadística Y Probabilidad

En el siglo XVIII, el término "estadística" designaba la colección sistemática de datos demográficos y económicos por los estados. A principios del siglo XIX, el significado de "estadística" fue ampliado para incluir la disciplina ocupada de recolectar, resumir y analizar los datos. Hoy la estadística es ampliamente usada en el gobierno, los negocios y todas las ciencias. Las computadoras electrónicas han acelerado la estadística computacional y ha permitido a los estadísticos el desarrollo de métodos que usan recursos informáticos intensivamente.

El término "estadística matemática" designa las teorías matemáticas de la probabilidad e inferencia estadística, las cuales son usadas en la estadística aplicada. La relación entre estadística y probabilidades se fue desarrollando con el tiempo. En el siglo XIX, las estadísticas usaron de forma gradual la teoría de probabilidades, cuyos resultados iniciales fueron encontrados en los siglos XVII y XVIII, particularmente en el análisis de los juegos de azar (apuestas). Para 1800, la astronomía usaba modelos probabilísticos y teorías estadísticas, particularmente el método de los mínimos cuadrados, el cual fue inventado por Legendre y Gauss. 

• La incipiente teoría de las probabilidades y estadísticas fue sistematizada y extendida por Laplace; después de este, las probabilidades y estadísticas han experimentado un continuo desarrollo. En el siglo XIX, el razonamiento estadístico y los modelos probabilísticos fueron usados por las ciencias sociales para el avance las nuevas ciencias de psicología experimental y sociología, y por las ciencias físicas en termodinámica y mecánica estadística. El desarrollo del razonamiento estadístico estuvo fuertemente relacionado con el desarrollo de la lógica inductiva y el método científico.

La estadística puede ser considerada no como una rama de las matemáticas, sino como una ciencia matemática autónoma, como las Ciencias de la computación y la investigación de operaciones. A diferencia de las matemáticas, la estadística tuvo sus orígenes en la administración pública. Fue usada en la demografía y la economía. Con el énfasis en el aprendizaje de los datos y en la elaboración de las predicciones más acertadas, la estadística se ha solapado con la Teoría de la decisión y la microeconomía. Con el enfoque de los datos, la estadística se ha solapado con la ciencia de la información y las Ciencias de la computación.

Análisis Vectorial

ANÁLISIS VECTORIAL 

El Análisis Complejo

EL ANÁLISIS COMPLEJO

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX. Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiempos modernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos de fractales, producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

Resultados importantes

• Integrales de contorno

Una herramienta de central importancia en el análisis complejo es la integral de contorno. La integral de una función que sea holomorfa sobre y en el interior de un camino cerrado es siempre cero. Esto es el Teorema integral de Cauchy. Los valores de una función holomorfa dentro de un disco pueden ser hallados mediante una integral de contorno sobre la frontera del disco (fórmula integral de Cauchy). 

• Series de Laurent

Las series de Laurent son similares a las series de Taylor pero pueden ser usadas para estudiar el comportamiento de las funciones cerca de las singularidades.

• Teorema de Liouville

Una función acotada que sea holomorfa en el plano complejo debe ser constante; esto es el Teorema de Liouville, que puede usarse para dar una prueba natural y breve del Teorema fundamental del álgebra, que dice que el cuerpo de los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado.

• Continuación analítica

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es que si una función lo es en un dominio simplemente conexo entonces sus valores están completamente determinados por sus valores sobre cualquier subdominio más pequeño. 

Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejo

Rigor En El Análisis

RIGOR EN EL ANÁLISIS

Muchos historiadores de la matemática afirman que el rigor en matemáticas nació con Augustin-Louis Cauchy. Todo un revolucionario, Cauchy trató de establecer una base rigurosa para el análisis matemático. 

• Un buen ejemplo fue su demostración del teorema del valor intermedio, que afirma que toda función real f(x) continua en un intervalo [a,b] asume cada valor posible entre f(a) y f(b) en ese intervalo. 

La Revolución Francesa, bajo las consignas de libertad, igualdad y fraternidad, fue acompañada de una revolución matemática. Por primera vez, la élite de los ingenieros militares y civiles comenzó a recibir una formación matemática en París que comprendía las matemáticas más avanzadas del momento. Estos ingenieros aplicaron las matemáticas que estudiaron a los problemas más acuciantes del mundo moderno: infraestructuras, la navegación, la minería, la energía e incluso a la guerra. 

• Para Cauchy las matemáticas del siglo XVIII eran una disciplina que había perdido el norte. Todo un siglo de innovaciones matemáticas maravillosas que habían sido logradas a costa del rigor. Matemáticos como Euler manejaban series que no eran convergentes y expresiones formales sin sentido que producían conclusiones absurdas. 

Por supuesto, el “Curso de Análisis” de Cauchy, como suele ocurrir con todo trabajo pionero, carece de rigor en muchos aspectos. Por ejemplo, Cauchy asume que todas las funciones continuas son diferenciables. Sin embargo, lo importante del proyecto de reforma del análisis iniciado por Cauchy, que trata de llevar el rigor al análisis de la mano de la geometría y del álgebra, es que inició un camino hacia el rigor cuya culminación fue el motor de gran parte de la matemática de todo el siglo XIX, con la honrosa excepción del genial Henri Poincaré que vio en el rigor un corsé del que había que deshacerse.

• El cénit del rigor en las matemáticas llegó en el siglo XX con Nicolas Bourbaki, el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que, en los años 1930, se pusieron a revisar todos los fundamentos de las matemáticas con una exigencia absoluta en el rigor tratando de combatir la corriente que había nacido con Poincaré. Matemáticos como Jean Dieudonné, André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, y otros antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París recogieron el guante de Cauchy e impusieron a toda la matemática el concepto de rigor matemático como definición de la labor del matemático.

"Un matemático es una máquina de demostrar teoremas con absoluto rigor". La máxima revolucionaria de Bourbaki es Vive la rigueur!

Recuperado de: http://francis.naukas.com/2013/10/27/cauchy-y-el-rigor-en-el-analisis-matematico/

Matrices

Historia de las matrices, Método de Eliminación de Gauss from carmenvictoriafernsndezbrito
Recuperado de: http://es.slideshare.net/carmenvictoriafernsndezbrito/historia-de-las-matrices-mtodo-de-eliminacin-de-gaus

Álgebra Simbólica

Álgebra simbólica

Es ya un álgebra mucho más parecida a la que usamos hoy, con símbolos especiales, incógnitas, etc.. Fue introducida por Viète, quien asignó letras vocales a la cosa (incógnita)  y consonantes a valores conocidos (parámetros). También utilizó el símbolo (p) y (m) para la suma y resta.

INTRODUCCIÓN DE SÍMBOLOS MATEMÁTICOS 

Año	Personaje	Símbolo
1228	Leonardo de Pisa	Línea de fracción
1464	Regiomontano	Punto de la multiplicación
1489	Widmann	Los signos + y - de imprenta
1524-1525	Ries-Rudolff	Signo de raíz
1557	Recorde	Signo de igualdad
1593	Vieta	Uso frecuente de paréntesis
1617	Neper	Coma decimal
1637	Descartes	Escritura de potencias a3, b4