Topología
Recuperado de:
http://es.slideshare.net/gsanabria73/orgenes-e-historia-de-la-topologa-14442942
lunes, 16 de noviembre de 2015
Fundamentos De La Geometría
Fundamentos De La Geometría
Consideraremos tres sistemas distintos de objetos. Los objetos que componen el primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo sistema serán llamados rectas y aquellos del tercer sistema serán llamados planos.
- Existen puntos que los designaremos con las letras A, B, C, …
- Existen rectas que las designaremos con las letras a, b, c, …
- Existen planos que los designaremos con letras griegas α, β, γ, …
Los puntos son los elementos de la geometría lineal, las rectas son los elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son los elementos de la geometría del espacio.
Estos puntos, rectas y planos tiene relaciones entre ellos, que indicaremos con palabras como “están situados”, “entre”, “paralelas”, “congruentes”, etc. Una completa descripción de ellos y de sus relaciones serán consecuencias de los axiomas de la geometría. Estos axiomas pueden ser presentados en 5 grupos, cada grupo expresa por sí mismo relaciones fundamentales, hechos de nuestra intuición.
I – Axiomas de conexión
Axioma I – 1
Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Escribiremos a=AB o a=BA.
También usaremos otras formas de expresión, podemos decir que A “yace sobre” a, A es un punto de a, a pasa por A y por B. Si A yace al mismo tiempo sobre otra recta b, diremos que a y b tienen un punto en común, A.
Axioma I – 2
Dos puntos distintos determinan completamente una recta, esto significa que si a=AB y a=AC, donde B≠C, entonces a=BC.
Axioma I – 3
Tres puntos distintos que no están en la misma recta, determinan completamente un plano, escribiremos ABC=α.
Emplearemos también las expresiones, A, B y C están en α, o A, B y C son puntos de α.
Axioma I- 4
Dados tres puntos distintos A, B y C de un plano α, que no se encuentran sobre la misma recta, determinan completamente ese plano.
Axioma I – 5
Si dos puntos A y B de una recta a, están en el plano α, entonces todos los puntos de a están en el plano α.
En ese caso diremos que la recta a, está en el plano α.
Axioma I – 6
Si dos planos α y β tienen un punto en común, entonces tienen un segundo punto en común.
Axioma I- 7
En toda recta existen al menos dos puntos, en todo plano existen al menos tres puntos que no están en la misma recta, en el espacio existen al menos cuatro puntos no todos en el mismo plano.
Los axiomas 1 y 2 están relacionados con la geometría plana, serán llamados axiomas del plano.
Los axiomas 3 a 7 serán llamados axiomas del espacio.
Teorema 1
Dos rectas en el plano tienen un punto en común o no tiene puntos en común; dos planos no tienen puntos en común o tienen en una recta en común; una plano y una recta que no está en el plano o no tienen puntos en común o tienen un punto en común.
Teorema 2
Dada una recta y punto que no está en ella, o dadas dos rectas que tienen en un punto en común, un único plano puede pasar por ellos.
II – Axiomas de orden
Axioma II – 1
Si A, B y C son puntos de una recta y B está entre A y C, entonces B también está entre C y A.
Axioma II – 2
Si A y C son puntos de una recta, entonces existe al menos un punto B entre A y C y al menos un punto D situado tal que C esté entre A y D.
Axioma II – 3
Dados tres puntos cualesquiera de una recta, existe uno y sólo uno de ellos que está situado entre los otros dos.
Axioma II – 4
Dados cuatro puntos cualesquiera A, B, C, D de una recta siempre pueden ser ordenados tal que B este entre A y C y también entre A y D; y además, que C esté entre A y D y también entre B y D.
Definición:
Dados dos puntos A y B sobre una recta, llamaremos segmento a los puntos que están entre A y B, lo denotaremos AB o BA. Los puntos que están entre A y B se dicen que son puntos del segmento AB o que pertenecen al segmento. Todos los otros puntos de la recta se dicen que están fuera del segmento. Los puntos A y B son llamados extremos del segmento.
Axioma II – 5
Sean A, B y C tres puntos que no están sobre la misma recta y sea a una recta que está en el plano ABC y no pasa por los puntos A, B y C. Entonces, si una recta pasa atraves del segmento AB, entonces pasará por un punto del segmento AC o un punto del segmento BC.
Los axiomas 1 a 4 están relacionados con puntos sobre una recta y son llamados axiomas lineales del grupo II, el axioma 5 es llamado axioma plano del grupo II.
III – Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides)
Axioma III
En un plano α, dados una recta a y un punto A, que no pertenece a la recta. Existe una y solo una recta que pasa por el punto A y no intersecta a la recta a. Esta recta es llamada paralela a la recta a que pasa por A.
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Este axioma de las paralelas contiene dos afirmaciones. La primera es que en el plano α, hay siempre una recta que pasa por A y no intersecta a la recta a. La segunda es que sólo hay una.
Teorema 8:
Si dos rectas a y b, de un plano no tiene intersección con una tercera recta c del mismo plano, entonces entre ellas tampoco hay intersección.
El axioma de las paralelas es un axioma plano.
IV – Axiomas de congruencia
Axioma IV – 1
Si A y B son dos puntos en una línea recta a, y si A’ es un punto de la misma o de otra recta a’, entonces a un lado de A’ sobre la recta a’, podemos encontrar siempre un único punto B’ tal que el segmento AB es congruente con A’ B’.
Indicaremos esta relación escribiendo:
AB ≡ A’ B’
Todo segmento es congruente con si mismo, eso significa que AB ≡ AB.
Axioma IV – 2
Si un segmento AB es congruente a un segmento A’ B’ y también a un segmento A”B”, entonces el segmento A’B’ es congruente con el segmento A” B”.
Si AB ≡ A’ B’ y AB ≡ A” B”, entonces A’B’ ≡ A” B”
Axioma IV – 3
Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común salvo B, y sean además, A’ B’ y B’ C’ dos segmentos en la misma recta o en otra a’, que no tiene puntos en común salvo B’.
Entonces si AB ≡ A’ B’ y BC ≡ B’ C’ tenemos que AC ≡ A’ C’.
V – Axioma de continuidad (Axioma de Arquímedes)
Recuperado de: http://www.roberprof.com/tag/fundamentos-de-la-geometria/
Estadística Y Probabilidad
Estadística Y Probabilidad
En el siglo XVIII, el término "estadística" designaba la colección sistemática de datos demográficos y económicos por los estados. A principios del siglo XIX, el significado de "estadística" fue ampliado para incluir la disciplina ocupada de recolectar, resumir y analizar los datos. Hoy la estadística es ampliamente usada en el gobierno, los negocios y todas las ciencias. Las computadoras electrónicas han acelerado la estadística computacional y ha permitido a los estadísticos el desarrollo de métodos que usan recursos informáticos intensivamente.
El término "estadística matemática" designa las teorías matemáticas de la probabilidad e inferencia estadística, las cuales son usadas en la estadística aplicada. La relación entre estadística y probabilidades se fue desarrollando con el tiempo. En el siglo XIX, las estadísticas usaron de forma gradual la teoría de probabilidades, cuyos resultados iniciales fueron encontrados en los siglos XVII y XVIII, particularmente en el análisis de los juegos de azar (apuestas). Para 1800, la astronomía usaba modelos probabilísticos y teorías estadísticas, particularmente el método de los mínimos cuadrados, el cual fue inventado por Legendre y Gauss.
- La incipiente teoría de las probabilidades y estadísticas fue sistematizada y extendida por Laplace; después de este, las probabilidades y estadísticas han experimentado un continuo desarrollo. En el siglo XIX, el razonamiento estadístico y los modelos probabilísticos fueron usados por las ciencias sociales para el avance las nuevas ciencias de psicología experimental y sociología, y por las ciencias físicas en termodinámica y mecánica estadística. El desarrollo del razonamiento estadístico estuvo fuertemente relacionado con el desarrollo de la lógica inductiva y el método científico.
La estadística puede ser considerada no como una rama de las matemáticas, sino como una ciencia matemática autónoma, como las Ciencias de la computación y la investigación de operaciones. A diferencia de las matemáticas, la estadística tuvo sus orígenes en la administración pública. Fue usada en la demografía y la economía. Con el énfasis en el aprendizaje de los datos y en la elaboración de las predicciones más acertadas, la estadística se ha solapado con la Teoría de la decisión y la microeconomía. Con el enfoque de los datos, la estadística se ha solapado con la ciencia de la información y las Ciencias de la computación.
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